Je begint met één stroopwafel. Die ga je in ongelijke partjes delen en die partjes ga je opeten. Elke dag een stukje.
Omdat je met één stroopwafel begint en doorgaat tot de stroopwafel helemaal op is, is het direct duidelijk dat de som van alle stukjes die je eet, precies één is. Want je eet één stropwafel. Je doet er wel een hele tijd over ...
Want stel dat de som kleiner dan één is? Dan heb je nog een stukje over en ben je dus te vroeg gestopt. Je zou doorgaan tot er geen stukje stroopwafel - hoe klein ook - over is.
Omgekeerd: stel dat de som groter dan één is? Dan heb je méér stroopwafel gegeten dan je aan het begin had. Dat kan echt niet, tenzij je niet eerlijk bent geweest en een stukje van de buurman hebt opgegeten.
Wiskundigen noemen dit een bewijs uit het ongerijmde. Ongerijmd betekent in dit geval dat je uitkomt op iets wat niet kan kloppen. "Dat kan ik niet rijmen" zeg je dan. Bij een bewijs uit het ongerijmde ga je uit van een aanname, een veronderstelling, iets waarvan je niet weet of het waar is, maar waarvan je wilt weten of het waar is of niet. Als je uitkomt op iets wat niet waar is, maar onderweg heb je geen enkele fout gemaakt, dan kan het niet anders zijn, dan dat je uitgangspunt, daar waar je mee begonnen bent, fout is. Dat uitgangspunt noemen we ook wel een veronderstelling. Of met een woord uit een andere taal (Grieks) een hypothese.
Stel nu dat je begint met op de eerste dag een halve stroopwafel op te eten. Dat is de helft van wat je aan het begin van de dag had. Aan het eind van de eerste dag heb je nog een halve stroopwafel over voor de volgende dagen.
De tweede dag eet je de helft op van wat je hebt. Dat is een kwart stroopwafel. Aan het eind van de tweede dag heb je een kwart stroopwafel over voor de volgende dagen.
De derde dag eet je de helft op van wat je hebt. Dat is een achtste stroopwafel. Aan het eind van de derde dag heb je een achtste stroopwafel over voor de volgende dagen.
En zo ga je door. Elke dag eet je de helft van wat he had overgehouden. En de andere helft bewaar je voor de volgende dagen. Je begon met één stroopwafel en aan het eind heb je niets meer over. Dus heb je nu bewezen dat
1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + 1/32 +1/64 + ... = 1
Met die drie puntjes bedoelen we: je herhaalt het rekenvoorschrift eindeloos.
Natuurlijk loop je met een echte stroopwafel na een paar dagen al vast. Je hebt dan één kruimeltje dat je niet meer kan delen. Je eet dat in zijn geheel op, waarna je niets meer hebt.
Stel dat dat na vijf dagen het geval is. Je hebt dan bewezen dat
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/32 = 1
Dat laatste 1/32-ste deel van de stroopwafel is immers wat je aan het eind van de vijfde dag nog over had en dat je niet meer kon delen.
Maar stel nu eens dat je al na drie dagen een stukje over hebt dat je niet meer kan delen. Bijvoorbeeld omdat je aan het begin een kleine stroopwafel kreeg. Dan heb je bewezen dat
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1
Dat laatste 1/8-ste deel van de stroopwafel is immers wat je aan het eind van de derde dag nog over had en dat je niet meer kon delen.
Later leer je een formule om het zonder hoofdrekenen te doen. Zo werkt de wiskunde: je gaat uit van een opgave uit het dagelijks leven, lost dat beredeneerd op en later ga te kijken hoe je de uitkomst in andere gevallen kan vinden. Generaliseren noemen we dat met een moeilijk woord.
Stel nu dat je begint met op de eerste dag een halve stroopwafel op te eten. Dat is de helft van wat je aan het begin van de dag had. Aan het eind van de eerste dag heb je nog een halve stroopwafel over voor de volgende dagen.
De tweede dag eet je de helft op van wat je hebt. Dat is een kwart stroopwafel. Aan het eind van de tweede dag heb je een kwart stroopwafel over voor de volgende dagen.
De derde dag eet je de helft op van wat je hebt. Dat is een achtste stroopwafel. Aan het eind van de derde dag heb je een achtste stroopwafel over voor de volgende dagen.
En zo ga je door. Elke dag eet je de helft van wat he had overgehouden. En de andere helft bewaar je voor de volgende dagen. Je begon met één stroopwafel en aan het eind heb je niets meer over. Dus heb je nu bewezen dat
1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + 1/32 +1/64 + ... = 1
Met die drie puntjes bedoelen we: je herhaalt het rekenvoorschrift eindeloos.
Natuurlijk loop je met een echte stroopwafel na een paar dagen al vast. Je hebt dan één kruimeltje dat je niet meer kan delen. Je eet dat in zijn geheel op, waarna je niets meer hebt.
Stel dat dat na vijf dagen het geval is. Je hebt dan bewezen dat
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/32 = 1
Dat laatste 1/32-ste deel van de stroopwafel is immers wat je aan het eind van de vijfde dag nog over had en dat je niet meer kon delen.
Maar stel nu eens dat je al na drie dagen een stukje over hebt dat je niet meer kan delen. Bijvoorbeeld omdat je aan het begin een kleine stroopwafel kreeg. Dan heb je bewezen dat
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1
Dat laatste 1/8-ste deel van de stroopwafel is immers wat je aan het eind van de derde dag nog over had en dat je niet meer kon delen.
Later leer je een formule om het zonder hoofdrekenen te doen. Zo werkt de wiskunde: je gaat uit van een opgave uit het dagelijks leven, lost dat beredeneerd op en later ga te kijken hoe je de uitkomst in andere gevallen kan vinden. Generaliseren noemen we dat met een moeilijk woord.
O ja: ik heb nog niet uitgelegd wat het verschil is tussen een rij en een reeks. En wat een meetkundige reeks is.
Een reeks is een rij met plustekens. Voorbeeld: 1, 2, 3 is een rij. 1+2+3 is een reeks.
Een meetkundige reeks is en reeks, waarbij elk element een veelvoud is van zijn voorganger. Die links van hem staat, want we schrijven van links naar rechts. Bij het stroopwafelvoorbeeld is het veelvoud 1/2, of 0,5. Want elke dag eet je een stukje dat half zo groot is als de dag ervoor.
Je kan alleen de som van een oneindig doorlopende meetkundige reeks berekenen, als het veelvoud kleiner dan 1 is. Hoe zie je dat snel in? Denk weer aan de stroopwafel. Stel dat je elke dag een stukje eet dat twee keer groter is dan de dag ervoor. Dus als het veelvoud 2 is. Stel: je begint op dag 1 met een halve stroopwafel. De dag erop zou je twee halve, dus een hele stroopwafel moeten eten. Maar die heb je niet ...
We proberen het voorzichtiger: de eerste dag eten we 1/16-de stroopwafel, dag 2 een 1/8-stroopwafel, dag 3 een 1/4 stroopwafel, dag 4 een 1/2 stroopwafel. Op dag 5 zou je dan een hele stroopwafel moeten eten. maar die heb je niet ...
Nog voorzichtiger: de eerste dag eten we een 1/64-stukje van een stroopwafel, dag 2 1/32-ste stroopwafel, dag 3 een 1/16-de stroopwafel, dag 4 1/8-ste stroopwafel, dag 5 een kwart stroopwafel, dag 6 en halve stroopwafel. Op dag 7 zou je dan een hele stroopwafel moeten eten, maar die heb je niet ...
Hoe klein het stukje ook is waarmee je eerste dag begint, als je steeds een stukje pakt dat twee keer groter is dan de dag ervoor, dan loop je na een aantal dagen steeds tegen dit probleem aan.
Snap je nu ook waarom de virologen (mensen die veel meer van virussen weten dan gewone mensen) vinden het reproductiegetal R kleiner dan 1 moet zijn? Dat getal geeft aan hoeveel mensen (gemiddeld) worden besmet door één persoon die besmet is met een nare ziekte. Als het getal boven de 1 ligt, kom je op een gegeven moment mensen te kort om te besmetten: iedereen is al besmet geraakt! Om dat in te zien, hoef je niets van virussen te weten! Je moet wel een beetje kunnen denken als een wiskundige.
Heb je trouwens wel eens nagedacht over de woordje "wiskunde". Is het je wel eens opgevallen dat in andere talen er geen woord is te vinden dat een beetje lijkt op het woord wiskunde? Wij danken het woord aan een beroemde Belg, die naar Nederland verhuisde: Simon Stevin. "Wis" kennen we van de uitdrukking "wis en waarachtig" en "wis en zeker". Wiskunde is dus de wetenschap van zekerheden. We hoeven er niets voor te meten, te wegen, onder een microscoop te leggen of wat dan ook. We hoeven alleen maar te redeneren. Misschien af en toe een kladpapiertje gebruiken, zoals de achterkant van een oude enveloppe. Of een rekenmachine. Of een computer. Grappig trouwens dat de Belgen van tegenwoordig nooit "wis en zeker" zeggen, maar "zeker en vast". Toch hebben ook zij het over wiskunde en niet over zekerkunde of vastkunde.
Geen opmerkingen:
Een reactie posten