Is π dan toch een rationaal getal?

Op school heeft u geleerd dat π ( u weet wel: de omtrek van en cirkel is 2 maal π * de straal) geen rationaal getal is. Ofwel; u kunt π (spreek uit als pi) niet als een breuk schijven. Aan de andere kant: als u de breuk 22/7 gebruikt als benadering van π, zult u geen grote fouten maken.

Ik kocht onlangs een nieuwe desktop met een vlotte I5 processor. Om die te testen, heb ik vanmorgen wat gespeeld in Excel en Libre Office.

Als u kijkt op https://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80

ziet u daar naast het bekende 22/7 een hele rij tellers en noemers van breuken, die steeds meer op π gaan lijken:

• The continued fraction representation of π can be used to generate successive best rational approximations. These approximations are the best possible rational approximations of π relative to the size of their denominators. Here is a list of the first thirteen of these:^[61][62]

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$

Of all of these, ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$ is the only fraction in this sequence that gives more exact digits of π (i.e. 7) than the number of digits needed to approximate it (i.e. 6). The accuracy can be improved by using other fractions with larger numerators and denominators, but, for most such fractions, more digits are required in the approximation than correct significant figures achieved in the result.^[63]

Op dit staatje heb ik een oude truc toegepast. Als je een rijtje getallen hebt, die steeds beter de juiste waarde benaderen, dan kan je door een combinatie daarvan een nog betere benadering krijgen. Extrapolation to the limit noemen we dat.

Als ik wat speel, dan vind ik een heel stel tellers en noemers, die volgens Excel precies dezelfde waarde opleveren als de Excelfunctie pi(). Met andere woorden: als je spreadsheet toevallig geen π kent (en ook geen functie als ATAN of andere inverse goniofuncties) dan kan je met die breuken "bewijzen" dat π een rationaal getal is met meerdere verschijningsvormen. Alleen al dat laatste moet zoekers voorzichtig maken, die als moderne alchemisten met hulp van een computer de de absolute waarheid willen ontdekken en in numerieke ruis verdrinken:

     teller            noemer

507959897 161688657513379248 163413690517652191 164773810518798599 165138723523071542 166498843524217950 166863756528490893 168223876

Dit lijstje is niet volledig in de zin dat er niet meer combinaties zijn die precies π opleveren. In ieder geval levert elke lineaire combinatie van bovenstaande tellers en noemers weer een π-breuk op. Zo noem ik kortheidshalve zo'n combinatie teller gedeeld door noemer = π. Althans volgens mijn Excel op mijn desktop.

Als u kijkt naar het rijtje van Wikipedia, dan zal het u opvallen dat de teller het vierde paar precies gelijk is aan de som van de tellers van het tweede en derde paar: 22 + 333 = 355. Vanzelfsprekend geldt hetzelfde voor de noemers: 7 + 106 = 113.
Ook is het zevende paar te construeren uit het vijfde en zesde: 103993 + 104348 = 208341 en
33102 + 33215 = 66317. Ik laat het aan de lezer over de andere verbanden zelf te ontdekken.

Als ik tijd en zin heb, ga ik eens na of er voor het andere belangrijke transcendentale getal e (2,71 ...) ook e-breuken bestaan.

NB Gnumerics geeft pi in 30 cijfers achter de komma:
3,141592653589793115997963468544
Maar klopt dat?
3,141592653589793238462643383279
volgens https://decimal.info/digits-of-pi/value-of-pi-to-30-decimal-places.html